Lisebelisoa tsa li-equation algebraic. Mekhoa e ts'oanang ea mekhatlo e tloaelehileng ea algebraic equations

Ha re khutletse sekolong, e mong le e mong oa rona o ile a ithuta li-equation 'me, mohlomong, mokhoa oa equations. Empa hase batho ba bangata ba tsebang hore ho na le litsela tse 'maloa tsa ho li rarolla. Kajeno re tla tšohla ka ho qaqileng mekhoa eohle ea ho rarolla tsamaiso ea likaroloana tsa algebraic tse nang le litekanyo tse fetang tse peli.

Histori

Ho fihlela joale, hoa tsebahala hore bokhoni ba ho rarolla li-équations le mekhoa ea bona e simolohile Babylona le Egepeta ea boholo-holo. Leha ho le joalo, ho lekana ka mokhoa oa bona o tloaelehileng ho rona o ile oa hlaha ka mor'a ponahalo ea ho lekanngoa "=", e ileng ea hlahisoa ka 1556 ke Tlaleho ea lipalo ea Senyesemane. Ka tsela, pontšo ena e khethiloe ka mabaka: e bolela likarolo tse peli tse tšoanang tse tšoanang. 'Me ke' nete hore mohlala o motle oa ho lekana o ke ke oa nahana.

Mothehi oa litlhaku tsa morao-rao tsa li-alphabetic tse sa tsejoeng le lipontšo tsa likhato ke setsebi sa lipalo sa Fora Francois Viet. Leha ho le joalo, litlhaloso tsa eona li ne li fapane haholo le tsa kajeno. Ka mohlala, lekala la nomoro e sa tsejoeng le ne le hlalosoa ka lengolo Q (Latin "quadratus"), le cube ka lengolo C ("cubus" ea Selatine). Hona joale litlhaloso tsena li bonahala li sa phutholoha, empa joale e ne e le mokhoa o utloisisoang ka ho fetisisa oa ho ngola mekhoa ea li-equation algebraic.

Leha ho le joalo, bothata ba mekhoa e joalo ea tharollo e ne e le hore litsebi tsa lipalo li nka feela metso e ntle. Mohlomong sena se bakoa ke hore litekanyetso tse mpe ha li na tšebeliso e sebetsang. Leha ho le joalo, litsebi tsa lipalo tsa Mataliana tsa Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano le Rafael Bombelli lekholong la bo16 la lilemo e ne e le tsona tsa pele ho nahana ka metso e mpe. Mefuta ea kajeno, mokhoa o ka sehloohong oa ho rarolla li- quadratic equations (ka khethollo) e entsoe feela lekholong la bo17 la lilemo ka lebaka la mesebetsi ea Descartes le Newton.

Bohareng ba lekholo la bo18 la lilemo, setsebi sa lipalo sa Switzerland se bitsoang Gabriel Kramer se fumane tsela e ncha ea ho rarolla tsamaiso ea li-equation tse tloaelehileng habonolo. Mokhoa ona o ile oa bitsoa ka morao ho eena 'me le kajeno re o sebelisa. Empa re tla bua ka mokhoa oa Cramer hamorao, empa hona joale, re tla tšohla li-equation le mekhoa e lekaneng ea ho rarolla bona ka tsela e fapaneng le tsamaiso.

Litekanyo tse lekanang

Litekanyo tse lekanang ke li-equations tse bonolo ka ho fetoha (s). Li khetholloa e le algebraic. Li-equation tse nang le linea li ngotsoe ka mokhoa o tloaelehileng ka tsela e latelang: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. Boemeli ba bona ka foromo ena bo tla hlokahala bakeng sa ho bokelloa ha lisebelisoa le matrices.

Lisebelisoa tsa li-equation algebraic

Tlhaloso ea lentsoe lena ke: ke pokello ea equations e nang le boholo bo sa tsejoeng le tharollo e tloaelehileng. E le molao, sekolong, ntho e 'ngoe le e' ngoe e ile ea rarolloa ke mekhoa e nang le likarolo tse peli kapa tse tharo. Empa ho na le mekhoa e nang le likarolo tse 'nè kapa tse fetang. A re shebeng pele hore na re ka li ngola joang e le hore nakong e tlang e ne e le mokhoa o loketseng oa ho rarolla. Ntlha ea pele, mekhoa ea li-equation algebraic e tla bonahala e le molemo haeba mefuta eohle e ngotsoe e le x e nang le index e lekanang: 1,2,3 joalo-joalo. Ea bobeli, ho hlokahala ho tlisa li-equations ka foromo ea khonang: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

Ka mor'a liketso tsena tsohle, re ka qala ho bolela hore na re ka fumana tharollo joang ho lits'ebeletso tsa li-equations tse tloaelehileng. Haholo bakeng sa sena re hloka matrices.

Matrices

Matrix ke tafole e nang le mela le lihlopha, 'me liphapeng tsa bona ke likarolo tsa eona. Sena se ka ba litekanyetso tse khethehileng kapa mefuta e sa tšoaneng. Ka makhetlo a mangata, ho hlalosa likarolo, li behoa ka tlaase ho litlaleho (mohlala, ₁₁ kapa ₂₃ ). Lenane la pele ke nomoro ea mola, 'me ea bobeli ke eona khoeli. Ho feta matrices, esita le holim'a lisebelisoa tse ling tsa lipalo, u ka etsa mesebetsi e sa tšoaneng. Ka hona, o ka:

1) Tlosa le ho eketsa litafole tse lekanang tsa boholo.

2) Eketsa matrix ka palo kapa vector.

3) Transpose: fetola mela ea matrix ka lihlopha, le meqomo - ka mela.

4) Eketsa matrices haeba palo ea mela ea e mong oa eona e lekanang le palo ea lihlopha tsa tse ling.

Re tla tšohla mekhoa ena eohle ka ho qaqileng, kaha e tla re tsoela molemo nakong e tlang. Ho tlosa le ho phaella ha matrices ho bonolo haholo. Kaha re nka matrices a lekanang le boholo, karolo e 'ngoe le e' ngoe ea tafole e le 'ngoe e lumellana le ntho e' ngoe le e 'ngoe ea e' ngoe. Kahoo re eketsa (ho tlosa) likarolo tsena tse peli (ke habohlokoa hore li ema libakeng tse tšoanang matrices a tsona). Ha u atisa matrix ka palo kapa vector, u atisa karolo e 'ngoe le e' ngoe ea matrix ka palo eo (kapa vector). Phetolelo ke mokhoa o thahasellisang haholo. Ho thahasellisa haholo ka linako tse ling ho e bona bophelong ba sebele, ka mohlala, ha u fetola boemo ba letlapa kapa fono. Litšoantšo tse kenteng ea desktop ke matrix, 'me ha boemo bo fetoha, bo fetisetsoa mme bo ba boholoanyane, empa bo fokotseha ka bophahamo.

A re ke re sekaseke tshebetso e joalo, e le ho atisa ha matrixes. Le hoja e sa fumanehe hantle, e ntse e tla ba molemo ho e tseba. Eketsa matrices a mabeli hafeela palo ea mehala ea tefo e le 'ngoe e lekana le palo ea mela ea e' ngoe. Hona joale re nka likarolo tsa mola oa matrix o le mong le likarolo tsa karolo e lekanang ea e 'ngoe. Re li atisa ka ho latellana ebe li li kenya (ke hore, ka mohlala, sehlahisoa sa likarolo tse ₁₁ le ₁₂ ka b ₁₂ le b ₂₂ ke: a ₁₁ * b ₁₂ + a ₁₂ * b ₂₂ ). Ka hona, karolo e le 'ngoe ea tafoleng e fumanoa,' me mokhoa o tšoanang o tlatsoa ka ho eketsehileng.

Hona joale re ka qala ho hlahloba kamoo tsamaiso ea li-equations e lekaneng e rarollotsoeng kateng.

Mokhoa oa Gauss

Sehlooho sena se qala ho etsahala sekolong. Re tseba khopolo ea "tsamaiso ea li-equations tse peli" 'me e ka li rarolla. Empa ho thoe'ng haeba palo ea equations e kholo ho feta tse peli? Mokhoa oa Gauss o tla re thusa ho sena .

Ha e le hantle, ho bonolo ho sebelisa mokhoa ona haeba re etsa matrix ho tloha tsamaisong. Empa u ke ke ua e fetola 'me ua rarolla ka mokhoa o hloekileng.

Kahoo tsamaiso ea li-equation tsa Gauss tse fapaneng li rarolla mokhoa ona joang? Tsela, le hoja mokhoa ona o bitsoa ka mor'a hae, empa o ile oa fumanoa mehleng ea boholo-holo. Gauss e fana ka maikutlo a latelang: ho etsa ts'ebetso ka li-equations, e le hore qetellong o etelle pele ka kakaretso fomu e kang ea bohato. Ka mantsoe a mang, hoa hlokahala hore ho tloha holimo ho ea tlaase (haeba ho lokiselitsoe hantle) ho tloha ho lekaneng la pele ho ea ho ea ho qetela ho tla fokotseha ka ntho e sa tsejoeng. Ka mantsoe a mang, re lokela ho e etsa e le hore re fumane, re, likarohano tse tharo: ho tsa pele - tse tharo tse sa tsejoeng, ka bobeli - tse peli, tsa boraro - tse ling. Joale ho tloha ho lekanang la ho qetela re fumana lekhetlo la pele le sa tsejoeng, le nkang sebaka sa lona ka lekhetlo la bobeli kapa le lekhetlo la pele, ebe le fumana mefuta e 'meli e setseng.

Mokhoa oa Cramer

E le hore u tsebe mokhoa ona, ke habohlokoa haholo ho ba le tsebo ea ho phaella, ho tlosa matrices, le ho khona ho fumana li-determinants. Ka hona, haeba o etsa hampe kapa o sa tsebe, o tla tlameha ho ithuta le ho se etsa.

Moelelo oa mokhoa ona ke ofe, le ho o etsa joang e le hore tsamaiso ea likaroloana tsa Cramer e fumanehang? Ho bonolo haholo. Re tlameha ho haha li-coefficients tsa lenane (hoo e batlang e le kamehla) tsa tsamaiso ea algebraic equations. E le ho etsa sena, nka feela linomoro ka pel'a tse sa tsejoeng 'me u li behe tafoleng ka tatellano ea hore li ngotsoe tsamaisong. Haeba ho na le "-" letšoao ka pel'a palo, joale ngolla coefficient e fosahetseng. Ka hona, re ile ra bokella lekhetlo la pele la li-coefficients tse sa tsejoeng, ho sa kenyelelane le lipalo ka mor'a matšoao a lekanang (ke tlhaho hore equation e fokotsehe fomong ea kereke, ha letsoho le letona le na le palo feela, le ka ho le letšehali tsohle tse sa tsejoeng ka li-coefficients). Ebe joale re hloka ho theha matrices a 'maloa, e' ngoe bakeng sa moelelo ka mong. E le hore u etse sena, nka sebaka sa matrix ka lehlakoreng le leng, moqolo ka mong le li-coefficients tsa khoeli ea linomoro ka mor'a pontšo e lekanang. Kahoo re fumana matrices a 'maloa ebe re fumana likhahla tsa tsona.

Ka mor'a hore re fumane li-determinants, ke ntho e nyenyane. Re na le matrix ea pele, 'me ho na le matrices a' maloa a fumanoang a lumellana le mefuta e fapa-fapaneng. E le ho fumana tharollo ea tsamaiso, re arola litaelo tse fumanoang tafoleng e fumanoang ho ea ka tafole ea pele. Nomoro e hlahisoang ke boleng ba e 'ngoe ea mefuta-futa. Ka ho tšoanang, re fumana tsohle tse sa tsejoeng.

Mekhoa e meng

Ho na le mekhoa e 'maloa e meng ea ho fumana tharollo ea mekhoa ea li-equation tse nyane. Ka mohlala, seo ho thoeng ke Gauss-Jordan, se sebelisetsoang ho fumana tharollo tsamaisong ea quadratic equation, e amana le ho sebelisoa ha matrices. Hape ho na le mokhoa oa Jacobi oa ho rarolla tsamaiso ea li-equation algebraic linear. Ke eona e ikamahanya le maemo haholo bakeng sa k'homphieutha 'me e sebelisoa thekenoloji ea k'homphieutha.

Linyeoe tse thata

Hangata bothata bo hlaha haeba palo ea equations e le tlaase ho palo ea mefuta e sa tšoaneng. Ka nako eo, re ka bolela hore tsamaiso ena ha e lumellane (ke hore, ha e na metso) kapa palo ea mekhoa ea eona e atisa ho ba teng. Haeba re e-na le nyeoe ea bobeli, joale re lokela ho ngola tharollo e akaretsang ea tsamaiso ea li-equation tse nyane. E tla ba le bonyane mofuthu o le mong.

Qetello

Kahoo re fihlile bofelong. A re ke re akaretseng: re hlahlobile hore na tsamaiso le matrix ke eng, 'me re ithutile ho fumana tharollo e akaretsang ea tsamaiso ea li-equation tse nyane. Ho phaella moo, re nahane ka mekhoa e meng. Re fumane hore na tsamaiso ea li-equations e lekaneng e rarolloa joang: mokhoa oa Gauss le mokhoa oa Cramer. Re buile ka linyeoe tse thata le litsela tse ling tsa ho fumana tharollo.

Ha e le hantle, taba ena e tebile haholoanyane, 'me haeba u batla ho e utloisisa hamolemo, joale re khothaletsa ho bala lingoliloeng tse ling tse khethehileng.