Guttate le homogeneous differential abel ba tle pele. mehlala ea ditharollo

Ke nahana hore re lokela ho qala ka histori ea khanyang sesebelisoa thuto ea lipalo e le ditekanyo differential. Joaloka differential ohle le ea bohlokoa calculus, ditekanyo tsena li ne li qapa ke Newton lekholong la bo17 la lilemo morao. O ne a lumela hore e ne e sibolloa hae ea bohlokoa hoo esita le molaetsa patilwe, eo kajeno e ka fetoleloa e le ka tsela e latelang: ". Melao All ea tlhaho o ile a hlalosa ka ho ditekanyo differential" Ho ka bonahala ho feteletsa taba e itseng, empa ho 'nete. molao ofe kapa ofe oa ea fisiks, k'hemistri, baeloji, ka o ile a hlalosa ka ho ditekanyo tsena.

E monehelo haholo ho ntshetsa pele le ho bōptjoa ha khopolo ea ho ditekanyo differential na thuto ea lipalo tsa Euler le Lagrange. Se lekholong la bo18 la lilemo ba ile a fumana le ho ntshetswapele seo hona joale ho ithuta ka dithuto phahameng univesithi.

A bohlokoa e ncha ho ithuta ditekanyo differential qala ho leboha ho Anri Puankare. A ba bōpa e le "boleng tsa khopolo ea ho differential equations" e, e leng, ho kopantswe le khopolo ea mesebetsi ya divariabole rarahaneng tlatsetsa haholo ho motheo oa topology - saense ya sebaka le thepa ea eona.

ke differential ditekanyo eng?

Batho ba bangata ba tšaba ho poleloana e reng "differential abel". Leha ho le joalo, sehloohong sena re tla e ngotsweng ka ho qaqileng le hantle oa sesebelisoa sena thusa haholo thuto ea lipalo e leng ha e le hantle e seng e le e rarahaneng e le ho bonahala ho tloha sehlooho sa eona. E le hore ba ka qala ho bua ka lekhetlo la pele-taelo differential abel, o lokela ho pele ho tloaela bopa dikgopolo tsa motheo tse ka tlhaho amanang le tlhaloso ena. 'Me re tla qala ka ho differential ena.

differential

Batho ba bangata ba tseba lentsoe lena ho tloha sekolong se phahameng. Leha ho le joalo, a ntse a lula a nahana ka eona ka ho qaqileng. Ak'u inahanele feela hore kerafo ya mosebetsi wa. Re ka eketsa ho hoo e 'ngoe ea karolo ea eona e fetoha mola o otlolohileng. Ho tla nka lintlha tse peli tse keng ha lekanngoa le haufi le e mong le e tse ling. Phapang pakeng tsa hokahanyang bona (x, kapa featswan) ke infinitesimal. Le e bitsoa differential le litlhaku kgetha Dy (differential tsa featswan) le dx (the differential ya x). Ke habohlokoa ho utloisisa hore ho differential ha boleng phahameng ka ho fetisisa, 'me sena ke se boleloang ke le mosebetsi khōlō.

'Me hona joale o lokela ho ela hloko likarolo tsena tse latelang, tseo re tla hloka ho hlalosa differential abel kgopolo. Ho - sehlahisoa.

sehlahisoa

Kaofela ha rōna re lokela ho utloile ha ke le sekolong le khopolo ena. Ba bolela hore ho sehlahisoa - ke tekanyo ea kgolo ya kapa fokotseha ya mosebetsi wa. Leha ho le joalo, tlhaloso ena e ba ho feta ferekanya. A re ke re leka ho hlalosa mantsoe sehlahisoa sa differentials ena. A re ke re khutlele ho infinitesimal karohano mosebetsi le lintlha tse peli, tse teng le hōle bonyane ho tloha nngwe le e nngwe tse ling tse. Empa esita le ka nģ'ane ho mosebetsi ona hole le nako ea ho fetola ba bang ba boleng. Le ho hlalosa phetoho e le fihla le sehlahisoa e neng e tla ka tsela e nngwe ho ngoloa e le karo-karolelano ea differentials ho: o f (x,) '= DF / dx.

Hona joale e se ke ho hlokahala hore ho nahana ka thepa tsa motheo tsa sehlahisoa sa. Ho na le tse tharo feela:

1. Sehlahisoa chelete kapa phapang ka hlahisoa e le chelete eo kapa phapang ea derivatives ho: (a + b) '= ka' + b ka ',' me (ka ab) '= a'-b ka'.
2. The thepa ea bobeli e amana le katiso. Sehlahisoa mesebetsi - ke chelete ea mesebetsi ea mosebetsi e mong ho sehlahisoa e 'ngoe: (a * b)' = ka '* b, + ka * b,'.
3. The sehlahisoa sa phapang e ka ngotsoe e le abel latelang: (a / b) '= (a' * mdogo * b, ') / b ^2.

makgetheng tsena tsohle li ka e nago le mohola bakeng sa ho fumana tharollo ea differential ditekanyo ba tle pele.

Hape, ho na le leeme derivatives. A re nke hore re na le mosebetsi wa med, e leng itšetlehile ka divariabole x le featswan. Ho a bale a leeme sehlahisoa sa mosebetsi ona, ho etsa mohlala, ka sa x, re lokela ho nka ho featswan polygonal bakeng sa khaotseng ho le bonolo ho phapang.

ea bohlokoa

ya kgopolo ya 'ngoe ea bohlokoa - ea bohlokoa. Ha e le hantle ho ke ke se fapaneng le sehlahisoa. Integrals na le mefuta e 'maloa, empa tharollo e bonolo ea ditekanyo differential, re lokela ka ho fetisisa e sa reng letho e sa lekanyetsoang integrals.

Ho joalo, seo ke ea bohlokoa? A re re re na le ba bang ba le kamano e haufi-f ya x. Re nka ho tswa ho ba ea bohlokoa le ho fumana mosebetsi F (x,) (e atisa ho bitsoa ka ea khale), seo e leng sehlahisoa sa mosebetsi sa pele. Ka hona F (x,) '= o f (x e). Hona hape ho bolela hore ea bohlokoa ea sehlahisoa sa o lekana le mosebetsi ea pele.

Ho rarolla differential ditekanyo ke ea bohlokoa haholo ho utloisisa se boleloang ke le mosebetsi ea bohlokoa, kaha hangata haholo lokela ho nka hore ba fumane tharollo.

The ditekanyo tse fapaneng ho itšetlehile ka mofuta oa bona. Ka karolo e tlang re tla sheba mefuta ya pele ditekanyo odara differential, ebe ho ithuta ho rarolla.

Litlelase tsa ditekanyo differential

"Diffury" arotsoe ke taelo ea derivatives amehang ho tsona. Ka tsela eo ho na le oa pele, ea bobeli, ea boraro kapa ho feta e le hore. Ba ka boela ba arotsoe ka litlelase tse 'maloa: tlwaelehileng mme a leeme.

Sehloohong sena, re tla tšohla le tloaelehileng differential ditekanyo ba tle pele. Mehlala le tharollo re tšohla likarolo tse latelang. Re nahana feela TAC hobane ke mefuta e atileng ka ho fetisisa ba ditekanyo. Tlwaelehileng arotswe subspecies: le divariabole separable, homogeneous le heterogeneous. E tlang ha u tla ithuta kamoo ba fapana mong ho e mong, 'me u ithute mokhoa oa ho a rarolla.

Ho phaella moo, ditekanyo tsena ka ho kopantswe, e le hore ka mor'a hore re fumane mokhoa oa differential ditekanyo ba tle pele. tsamaiso ea joalo, re boetse re sheba 'me u ithute mokhoa oa ho a rarolla.

Hobaneng re hlahloba feela taelo ea pele? Hobane e ke ho hlokahala hore ho qala ho ka le bonolo le le ka hlalosa tsohle tse amanang le ditekanyo differential, sehloohong e le 'ngoe e ke ke ha khoneha.

Ditekanyo le divariabole separable

Sena ke mohlomong e le tse sa rarahanang ka ho fetisisa pele odara differential ditekanyo. Tsena ke mehlala e ka ngotsoe ka: y el '= o f (x,) * o f (y el). Ho rarolla abel ena re hloka setšoantšo moralo oa sehlahisoa e le karo-karolelano ea differentials ho: y el '= Dy / dx. Le eona re fumana abel: Dy / dx = o f (x,) * o f (y el). Hona joale re ka retelehela ho mokhoa oa ho rarolla mehlala tekanyetso: arole ba divariabole likarolong, ke hore, ba itime lijo 'pele ho tsohle featswan polygonal karolong e ka moo ho na le Dy,' me hape ho etsa polygonal x, ... Re fumana e abel tsa mokgwa: Dy / f-(y el) = o f (x,) dx, eo e finyelloa ka etellang integrals tsa likarolo tse peli. Se ke la lebala ka ea kamehla hore o batla ho beha mora ikopanya.

The tharollo leha e le efe "diffura" - ke mosebetsi wa x, ke featswan (ho rōna), kapa haeba ho na le boemo bo dipalo, karabo e 'maloa. A re hlahlobeng mohlala o hahiloeng ka konkreite tsela eohle ea qeto ea:

featswan '= 2y * e leng sebe (x,)

Fetisetsa divariabole ka litaelo fapaneng:

Dy / featswan = 2 * e leng sebe (x,) dx

Hona joale nka integrals. Kaofela ha bona ba ka fumanoa tafole e khethehileng ea integrals. Mme re fumana:

Ln (y el) = -2 * cos (x,) + C

Haeba hlokahala, re ka bontša "y el" ka mosebetsi oa "X". Hona joale re ka re differential rona abel bo rarolohile, haeba e se boletsweng boemo. Ka boletsweng boemo, ho etsa mohlala, featswan (n / 2) = e. Ka mor'a moo re tla feela ho ka nkang sebaka boleng ba divariabole tsena ka qeto eo 'me u fumane boleng ba ea kamehla. Ka mohlala oa rōna, e le 1.

Homogeneous tle pele ditekanyo differential

Joale ho ea pele ho likarolo tse rarahaneng ho feta. Homogeneous pele ditekanyo odara differential ka ngotsweng ka foromo kakaretso e le: y el '= med (: x, featswan). Re lokela ho hlokomela hore mosebetsi tokelo ea divariabole tse peli ke junifomo, 'me e ke ke ea e arotsoe ka tse peli ho itšetlehile ka: med x le z tsa featswan. Hlahloba hore na abel ke homogeneous kapa che, ke le bonolo: re etsa tloswa: x = bzlmeet *: x le featswan = bzlmeet * featswan. Hona joale re khaola tsohle K. Ha mangolo ana a akhetse, joale abel homogeneous le ka tsela e sireletsehileng tsoela pele ho tharollo ea eona. Sheba pele, re re: molao-motheo oa ho tharollo ea mehlala ena e boetse ke haholo bonolo.

Re lokela ho etsa tloswa: y el = sa t (x,) *: x, moo 't - mosebetsi hore hape e itšetlehile ka sa x. Ka mor'a moo re ka hlalosa sehlahisoa: y el '= sa t "(x,) * x, +' t. A emeng sena sohle ka abel ba rōna ba pele le ho nolofatsa ho eona, re na le mohlala oa karohano ya divariabole sa t jwalo: x. Rarolla 'me fumana ho itšetleha ya sa t (x e). Ha re fumane feela ka nkang sebaka tloswa rona fetileng featswan = sa t (x,) *: x. Ka mor'a moo re fumana ho itšetleha ya featswan ka: x.

Ho etsa hore ho hlaka le ho feta, re tla utloisisa ka mohlala ona: x, * featswan '= yx * ea e-y / x,.

Ha hlahloba Phetolo ya tsohle fokotseha. Ho joalo, ho abel ke hlile homogeneous. Joale etsa tloswa e mong, re bua ka: y el = sa t (x,) *: x le featswan '= sa t "(x,) * x, +' t (x e). Mora simplification ho abel latelang: 't' (x,) *: x = -SU sa t. Re etsa qeto ea ho fumana sampole le divariabole ikhaohantseng le re ^{fumana: ea e -t = Ln (C *} : x). Re mpa re lokela ho nka sebaka sa t ke featswan / x, (hobane ha featswan = sa t *: x, joale sa t = featswan / x,), 'me re fumana ^{karabo: ea e -y / x, = Ln (} x, * C).

Guttate differential abel ba tle pele

Ho nako ea ho nahana ka sehlooho se seng sephara. Re tla sheba heterogeneous pele-taelo differential ditekanyo. Joang ba fapana ho tloha mehleng e 'meli? 'Nete ke hore. Guttate pele odara differential ditekanyo ka mokgwa kakaretso ea abel ho ka ngotsoe ka tsela eo: y el '+ g, (x,) * featswan = med (x e). E lokela ho hlakisoa hore med (x,) le g, (x,) e ka nna makgabane kamehla.

Mona 's ka mohlala: y el' - featswan *: x = x, ^2.

Ho na le ditsela tse pedi tsa ho rarolla, 'me re laela A re hlahlobeng bobeli ba tsona. Pele - ea mokhoa oa phetoho ea lulang li hatellang.

Ho rarolla abel ka mokhoa ona, ho ke ho hlokahala hore equate pele letona letsoho lehlakoreng ho lefela le rarolla sephetho abel eo ka mor'a ho fetiswa ha likarolo fetoha:

featswan '= featswan *: x;

Dy / dx = featswan *: x;

Dy / featswan = xdx;

Ln | featswan | = x, ^2/2 + C;

featswan = ea e ^{x2 / 2} * ^C featswan = C ₁ * ea e ^{x2 / 2.}

Hona joale e se ke ho hlokahala hore ho nka sebaka sa ka linako tsohle C ₁ ka mosebetsi, v (x,), eo re tla fumana.

featswan = v, * ea e ^{x2 / 2.}

Thala Phetolo sehlahisoa:

^{featswan '= v Le' * ea e x2} / ² -x * v, * ea e ^{x2 / 2.}

Le emeng lipoleloana tsena ka abel pele:

v Le '* ea e ^{x2 / 2} - x, * v, * ea e ^{x2 / 2} + x, * v, * ea e ^{x2 / 2} = x, ^2.

U ka bona hore ka lehlakoreng le letšehali la mantsoe a mabeli a fokotsehile. Haeba ba bang mohlala hore ba ne ba sa etsahala, ebe u entse ntho e 'ngoe e fosahetseng. Re tsoela pele ho:

v Le '* ea e ^{x2 / 2} = x, ^2.

Hona joale re rarolla abel tloaelehileng eo u batla ho arole ba divariabole:

DV / dx = x, ^{2 /} ea e ^x2 / ^2;

DV = x, ² * ea e ^{- x2 / 2} dx.

Ho tlosa ea bohlokoa, re lokela ho sebelisa nyalano ke likarolo mona. Leha ho le joalo, sena ha se taba ea sehlooho sena. Haeba u se u le thahasello, u ka ithuta ka bona ho phetha liketso tsa mofuta oo. Ha ho thata, 'me le bokhoni ba ho lekaneng le tlhokomelo hase nako timetsang.

Ha a bua ka mokhoa oa bobeli tharollo ya ditekanyo inhomogeneous: Bernoulli mokhoa. Seo wa katamelo e ka potlako ho ho le bonolo - e 's ho uena ho u.

Ho joalo, ha ho rarolla mokhoa ona, re lokela ho etsa hore tloswa: y el = bzlmeet * n g. Mona, k le n g - ba bang ba mesebetsi ho itšetlehile ka: x. Joale e ntan'o ba sehlahisoa tla shebahala joang: y el '= bzlmeet' * 'n' + bzlmeet * n '. Ka nkang sebaka substitutions peli abel ho:

K '*' n '+ bzlmeet * n g ' + x, * bzlmeet * n g = x, ^2.

Sehlopha ho fihlela:

K '*' n '+ bzlmeet * ( n' + x, * n g) = x, ^2.

Hona joale e se ke ho hlokahala hore equate ho lefela, ke hore ka parentheses. Joale, haeba u kopana le ba babeli sephetho ditekanyo, re fumana tsamaiso ea odara pele ditekanyo differential ho rarolla:

n '+ x, * n g = 0;

K '* n g = x, ^2.

The tekano pele ba etsa qeto ea hore na abel tloaelehileng. Ho etsa sena, o lokela ho arola divariabole:

dn / dx = x, * v Le;

dn / n g = xdx.

Re nka ka ea bohlokoa 'me re fumana: Ln (n g) = x, ^2/2. Joale, haeba re bontša hore n g:

n g = ea e ^{x2 / 2.}

Hona joale le ka nkang sebaka sa abel sephetho le ka abel bobeli:

K '* ea e ^{x2 / 2} = x, ^2.

Le fetola, re fumana abel tšoanang le ka mokhoa oa pele:

jagal = x, ^{2 /} ea e ^x2 / ^2.

Re boetse re a ke ke a buisana ka bohato bo eketsehileng. Ho boleloa hore ka lekhetlo la pele-pele e le hore ditekanyo differential tharollo bakang mathata haholo. Leha ho le joalo, e le tse tebileng ho qoelisoa ka sehlooho e qalang ho fumana molemo le molemo.

Li hokae differential ditekanyo?

mafolofolo differential ditekanyo sebelisoa ka fisiks, e le hoo e ka bang melao tsohle tsa motheo tse ngotsweng ka foromo differential, le mekhoa tseo, e le hore re bone - tharollo ho ditekanyo tsena. Ka k'hemistri, di sebelisoa ka lebaka le tšoanang: melao mantlha tse nkiloeng ka tsona. Thutong ea baeloji, e differential ditekanyo li sebelisetsoa ho Model boitšoaro ba tsamaiso ea, tse kang liphoofolo tse li jang - phofu. Ba ka boela sebelisoa ho bopa dikai tsa ho ikatisa, ho etsa mohlala, likolone tsa microorganisms.

Ka differential ditekanyo thusa bophelong?

The karabo ea potso ena e bonolo: ha ho letho le. Haeba ha u rasaense kapa moenjiniere, ho ke ke ha etsahala hore ba tla ba le thuso. Leha ho le joalo, ha a utloa bohloko ho tseba seo ha differential abel le ho bo rarolohile ntshetsopeleng kakaretso. Joale e ntan'o ba potso ea mora kapa morali, "seo e differential abel?" u se ke ua beha o ka qetellong bafu. Hantle, haeba u na le rasaense kapa moenjiniere, joale u tseba bohlokoa ba taba ena ea saense leha e le efe. Empa botlhokwa go feta, e le hore hona joale ho potso "mokhoa oa ho rarolla differential abel ba tle pele?" u tla 'ne ho be khona ho fana ka karabo. Lumellana, e lula e ntle ha u hlokomela hore seo batho ba ke esita le tšaba ho fumana tsoa.

The mathata a ka sehloohong thutong

Bothata ka sehloohong kutloisiso ea sehlooho sena ke tloaelo e mpe ea ho ikopanya le khethollo ea mesebetsi. Haeba u sa phutholoha ho kena derivatives le integrals, ho ke ke ka etsahala hore ebe ba bohlokoa ho ho ithuta, ho ithuta mekhoa e fapaneng ya ikopanya le khethollo ea, 'me joale feela tsoela pele ho ithuta lintho tse bonahalang tse hore o' nile oa hlalosoa sehloohong se.

Batho ba bang ba makatsoa ke ho tseba hore dx ka isoa, e le pele (ka sekolong) pheha khang ea hore le karoloana Dy / dx ke indivisible. Ka nako eo o lokela ho bala lingoliloeng tse sehlahisoa le utloisise hore ke boikutlo ba ngata lekanngoe tse nyenyane, tse ka susumetsa ho rarolla ditekanyo.

batho ba bangata ha hang-hang hlokomela hore tharollo ya differential ditekanyo ba tle pele - sena hangata mosebetsi kapa neberuschiysya ea bohlokoa, 'me rainbow ena o ba fa e ngata mathata.

Ke eng hape e ka ithuta ho utloisisa hamolemo hore na?

Ho molemo ho qala ho qoelisoa ka ho eketsehileng ka lefatše la differential calculus ea libuka e khethehileng, ho etsa mohlala, ka and analysis thuto ea lipalo bakeng sa liithuti tsa specialties bao e seng lipalo. O ka ka nako eo susumelletsa ho lingoliloeng tse khethehileng ho feta.

Ho boleloa hore, ho phaella ho differential, ho na le ba ntse ba bohlokoa ditekanyo, kahoo o tla lula ba le ho hong ho loanela ho le seo ho ithuta.

bofello

Re tšepa hore ka mor'a ho bala sehlooho sena o tla ba le e le maikutlo a mabapi le seo differential ditekanyo le kamoo ho ka a rarolla ka nepo.

Leha ho le joalo, thuto ea lipalo ka tsela efe kapa efe e molemo ho rōna ka bophelo. E develops tlhalohanyo le tlhokomelo, ntle le tse mong le e mong, ka ntle le matsoho.